Explicación

El problema de Monty Hall es un problema de probabilidad basado en un juego de un concurso televisivo estadounidense llamado Let's Make a Deal (en español, "Hagamos un Trato"). Su nombre se debe a Monty Hall, quien fue el presentador del concurso en aquel entonces.

En el juego hay dos personajes: el concursante y el presentador. El concursante debe elegir entre tres puertas cerradas; detrás de una de ellas hay un carro y tras las otras dos hay cabras, y el presentador conoce en qué puerta está cada uno de los objetos. 

La mecánica del juego es la siguiente: el concursante elige una puerta al azar. Luego, antes de mostrar su contenido, el presentador destapa una de las dos puertas que el concursante no eligió, revelando una cabra, quedando así dos puertas cerradas, una con el carro y otra con la segunda cabra. 

Nota: la mecánica nunca cambia, lo que significa que el presentador siempre va a revelar una cabra independientemente de cuál haya sido la elección del concursante; no ocurre que a veces la revela y a veces no. El presentador no la destapa al azar; él se asegura de siempre revelar una cabra, y lo puede hacer gracias a que su condición de presentador le permite conocer las posiciones.

En ese momento el presentador le pregunta si desea cambiar su elección inicial por la otra puerta que quedó cerrada, o si desea mantenerla. Sabiendo que lo que el concursante desea ganar es el carro, ¿de qué forma tiene más probabilidades de ganar, manteniendo su elección, cambiándola, o es indiferente?

Si tu primera impresión es que es indiferente, no te preocupes, a muchos nos pasó al principio, pero la respuesta es incorrecta, y si quieres saber por qué, continúa leyendo.

Lo que nos lleva a la conclusión errónea es que como hay dos puertas, una con el coche y otra con la cabra, y no sabemos en cuál de las dos está el coche, pensamos que cada una tiene 50% o 1/2 de probabilidad. Pero este razonamiento no toma en cuenta el conocimiento con que las puertas fueron elegidas. Para ilustrar, supongamos que no conocemos el año de cierto acontecimiento histórico, pero las únicas opciones son 1990 y 1991. Si no tenemos más información, podemos decir que cada una tiene 1/2 de probabilidad, pero si le preguntamos a un estudiante que no suele sacar buenas notas, titubea e inseguro nos dice que es 1990, y luego le preguntamos a un profesor de historia y muy convencido nos dice que es 1991, no sería adecuado asignarle 1/2 de probabilidad a cada opción. La diferencia entre las dos es el respaldo que tienen. Una está respaldada por alguien que podemos considerar ignorante, y la otra está respaldada por un sabio. No es imposible que el profesor esté equivocado, pero sabemos que eso es menos frecuente.

En el problema de Monty Hall sucede que el presentador está forzado a dejar el carro oculto para la segunda ronda. Las únicas dos puertas que permanecerán tapadas para la segunda elección son la que eligió el concursante al principio y otra que decida el presentador. Ahora bien, el concursante elige una puerta que esconde una cabra con una frecuencia de 2/3, es decir, la mayoría de las veces, lo que significa que la otra puerta que deje cerrada el presentador tendrá que ser la del carro en esa misma mayoría de las veces. En otras palabras, el presentador elige el carro con más frecuencia que el concursante, y por eso es más probable que se gane cambiando a que se gane manteniendo la elección original.

Un ejemplo más claro es si en lugar de 3 puertas fueran 100, en donde sólo una posee el carro. La mecánica es la misma: el concursante elige una y luego el presentador destapa todas las demás excepto alguna otra, y da la oportunidad de cambiar. Además, el carro siempre va a estar en alguna de esas dos. Supongamos que el premio está en la puerta 35:

1) Si se elige la puerta 1, el presentador también dejará cerrada la 35. Se gana cambiando.
2) Si se elige la puerta 2, el presentador también dejará cerrada la 35. Se gana cambiando.
3) Si se elige la puerta 3, el presentador también dejará cerrada la 35. Se gana cambiando.
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99) Si se elige la puerta 99, el presentador también dejará cerrada la 35. Se gana cambiando.
100) Si se elige la puerta 100, el presentador también dejará cerrada la 35. Se gana cambiando.

La única forma de ganar manteniendo la elección original es si al principio se eligió la puerta 35, es decir, si se tuvo la suerte de elegir la correcta habiendo un total de 100 posibilidades.